Yo he hecho lo siguiente, que es lo que aconsejan hacer. Aunque aún tengo problemas con las notificaciones. Ya comentarás si se te ha solucionado. Pero si alguno puede dar alguna solución....
Entras en la app seguridad de MIUI y en permisos entras en Autostart y elige las apps que quieras.
Además, después entra en ajustes, Additional settings-Batery & performance-Manage apps battery usage-Choose apps y aquí elige también las apps que quieras. Le das a Custom y selecciona Stay connected y Allow.
En principio con esta configuración en el mi4 no tuve ningún problema, pero con el mi5, los estoy teniendo. Hay momentos que no hay ningún problema y otros que no me llegan hasta que no abro la app.
Prueba y a ver si tienes suerte. Aunque creo que todo viene de la app china con la que nos vienen los mi5. Hasta que no saquen la global, creo que seguiremos teniendo este problema