Yo para solucionar lo de los correos con inbox he tenido que añadir una excepción en optimizacion de batería y Gmail la he deshabitado. Luego en los ajustes de inbox seleccionas las etiquetas de las que quieres notificación, las demás llegarán perfectamente pero sin notificar.
Enviado desde mi Nexus 6P mediante Tapatalk