Apunta todo a fallo de hardware. Batería aunq este bien por fuera yo sería lo primero que probaría xq es lo las fácil y alguien te la puede dejar.
Puedes intentar capar la velocidad del procesador y bajar mucho el brillo de pantalla para ver si un menor consumo ayuda a que se apague menos. Xq puede ser ese el problema que por un fallo de batería en vez de dar 5 voltios este dando 4,9 o 4,8 voltios y en cuanto baja un poco más por mayor consumo se apaga.
Otra cosa que se suele probar es instalar una ROM por fastboot esto sería si hay algún problema en el software te borra todo y te instala una versión desde 0. Pero con los problemas q tienes de apagados no te lo aconsejó xq puede que se te quede el móvil medio muerto.
No eres de España no?