Bueno, visto que este tema se ha quedado así, me contesto a mi mismo y por si es de ayuda a alguien más.
Resulta que tenía la pantalla rota tal y como dije en el comentario anterior, pero al comprar la nueva, al encender salían unas rayas verticales. La solución es que esa pantalla funciona en Android 4.4 y no es compatible con el 4.2 que traía el móvil. Dado que yo ya tenía la pantalla instalada, hice la actualización mediante sp flash tool y todo perfecto, funcionando pantalla, cámara y aparentemente todas las demás funciones y bastante fluido.
Hay usuarios que dicen que no les funciona la cámara, pero se arregla la pantalla. En este caso no hay nada que perder, se puede probar con la actualización a ver si hay suerte y funciona la cámara trasera y si no convence siempre se puede volver atrás.
Un saludo y espero haber sido de ayuda.