A ver lo de que se le caliente es normal,mientras no se pase dd 50°C.
En modos de ahorro de energia ponle el inteligente y no en rendimiento. Configurale lo de la cuenta google/servicios google play para que no se le sincronicen todo el rato,ademas de eso,ponle solo las apps necesarias cuando la pantalla este apagada. Sie el problema persiste,deberias plantearte en bajar la rom completa y hacer un hard reset.

PD: sino tiene cobertura,mejor modo avión,ahorra batería y se evita problemas.
PD2:Revisa si tiene el gps encendido o no,eso tambien influye.