Realizando la descarga del APK con el DownloadManager. Luego puedes hacer que el APK se lance al terminar la descarga.
El usuario siempre tendrá que aceptar la actualización, ya que le saldrá como si fuese una instalación nueva del APK sólo que indicando los permisos que realmente son nuevos.
Si buscas una manera de hacerlo automáticamente como hace Google Play, no se puede, al menos sin ser Root. Ni siquiera tiendas alternativas como Amazon Apps pueden hacerlo automáticamente.