Yo creo que es normal lo que te pasa.Yo cuando tuve el android stock 5.0.2 se me lagueaba muchísimo, después de instalar varias apps, shazam twitch y otras... Mi hermano también tiene moto g 2gen y tiene también lag en varias ocasiones.
Yo después de desbloquear el bootloader, instalar recovery y una ROM, la de klander, el teléfono va estupendo.
Te recomiendo darle factory reset o instalar una ROM.
Espero que te sirva