Creo que algo he solucionado. Tenía una idea errónea de la "autosincronización". Me explico. Pensaba que al activarla, a su vez se activaban todos los servicios y cuentas que tenía, es decir que libon, twitter, paypal,whatsapp y algunas más que tengo se activaban todas a la vez. Pero no es así,he visto una por una que no se encuentran activadas y solo he activado la de Gmail sincronizada con google que decía el compañero. No sabía que podías determinar manualmente cual cuenta querías que se sincronizara y cuál no. Me hecho un lio mental impresionante
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Me imagino que con solo sincronizar Gmail, tampoco es que la batería vaya a pegar un bajón. Iré viendo como responde y si funcionan bien las notificaciones.