Lo de coger la IP por DHCP es lógico si no hay un interface en el Chromecast que te permita asignarle directamente una IP estática como si fuera un PC.
Pero vamos, eso se soluciona fácilmente en el router asignándole una IP asociada a la dirección MAC del Chromecast cuando se conecte la primera vez, y luego ya puedes desactivar el DHCP. En mi caso, el rango de DHCP empieza en el .33 y el Chromecast lo tengo en el .15
