Si desactivas los datos del móvil en Ajustes/redes móviles (destildar) no se van a consumir nada de datos. Incluso puedes usar APNDroid para estar más seguro. Por lo tanto, yo creo que Whatsapp es la solución.
Por cierto, esto que dices que quieres push para que no se quede en segundo plano no tiene lógica, ya que push es esto, que se queda en segundo plano y con una conexión permanente con el servidor a la espera de recibir los mensajes
