vete a Ajustes/Cuentas y sincronizacion.
arriba tienes esas dos opciones que te he cicho, pero abajo además, tienes varias aplicaciones que pueden actualizarse automaticamente, entre ellas las cuentas que tengas.
si clickas en "google" te aparece otro submenú donde puedes ver:
sincronizar contactos
sincronizar Gmail
sincronizar calendario.
puedes activar/desactivar lo que quieras y se actualizaran o no dependiendo de lo que hayas activado.
yo en mi caso, por ejemplo la bolsa y Noticias lo tengo desactivado, por lo que solo sincronizo automaticamente el tiempo y la cuenta de google.