A mi me pasa en el Honor 6 con cuentas de Hotmail, a ver si alguien nos puede decir algo más.
Lo he conseguido hacer funcionar con el Light Manager Pro, me entra notificación y alerta sonora pero no de la app nativa de correo sino del Light Manager, llegan sin retraso, así que por ahora y para ir tirando lo dejo así, la verdad es que funciona perfecto y además he configurado que se encienda la luz amarilla cuando me entran.
EDITO: A veces entran y otras no, el problema yo creo que es cuando el movil entra en Deep Sleep, he activado como protegida la app Light Manager.
Otro problema que tengo es que si me llega un email a la "Bandeja de Entrada" y lo borro, entro en el pc en Hotmail y veo que lo ha movido a "Eliminados", hasta aquí todo correcto, sincroniza bien, pero si en el movil voy a "Eliminados" y lo elimino, lo borra en el movil pero no lo borra en el correo de Hotmail, es como que no sincroniza esa carpeta. Creo que el problema puede venir por nombre de las carpetas, en Outlook.com se llama "Eliminados" y en la app nativa de android "Papelera". He probado a eliminar un correo de la carpeta "Enviados" y funciona bien, también lo elimina en el pc, sólo pasa con los que borras en "Eliminados".