El inconveniente no está en que Android reproduzca quicktime. Lo reproduce y muy bien. Sin embargo, los vídeos quicktime en la web suelen estar dentro de un contenedor flash. Instalando flash player, se logra que el navegador nativo cargue el complemento, y con éste cargado se reproduce su contenido (por ejemplo, un streaming quicktime).
Lamentablemente, google quitó flash player de la playstore, así que hay que descargar el apk de otro sitio.
Nota: chrome para Android no soporta flash. Se debe usar el navegador por defecto de android.
Espero les sirva la info.
Saludos.