En PcCompanion, cuando lo instales, verás una opción llamada "Xperia Transfer" que es justo para cuando pasas de un terminal a otro ... yo personalmente no lo he probado desde ios, pero si me ha parecido ver esa opción ...

Primero te pregunta si el dispositivo viejo es Sony o nó, y a partir de ahí te irá dando las pautas a seguir