Probablemente tengas la sincronizacion en "manual". Dentro del correo entra en Ajustes / Cuenta / Cuentas y Sincronizacion, ahi marca la sincronizacion. Ademas tendras q ponerle en sincronizacion un intervalo de tiempo, para q no se quede en manual (5 minutos, 10, a gusto del consumidor, pero tendras q valorarlo por q te consume bateria y recursos si lo pones q este comprobandolo constantemente).
Yo personalmente prefiero la aplicacion de Gmail.