Bueno, después de dos flasheos con PIT, que al principio aparentemente solucionaban mis problemas pero que después todo volvía a ser lo mismo, creo que he empezado a ver algo de luz.
Gracias al consejo de Martín25, puse el widget de aplicaciones activas. Decir que tenía la App de internet anclada en la barra de accesos directos (o como se llame la barra de abajo) y observaba que aunque no lo usara, siempre tenia el navegador activo. Además, cuando usaba CHROME, este también se quedaba activo un rato y al final se cerraba. Ayer se me ocurrió cambiar en dicha barra el navegador nativo por CHROME y he de decir que el resultado ha sido brutal. No sé si ha sido casualidad o será transitorio, pero el consumo se ha reducido a la mitad y CHROME no se activa a no ser que la use.
Bueno, lo pongo por si a alguien le pasa lo mismo. Por probar...