Antes
Hay una aplicación de Sony en la playstore que llama Xperia diagnostic, prueba si funciona el digitalizador, si tiene garantía vigente mejor llevalo si no intenta estos pasos:
Te recomiendo que hagas todo menos cambiar la pantalla, puedes limpiarla, reiniciarlo varias veces a ver sí se soluciona, atrás hay un botón debajo de la tapa de la batería, si no funciona pues hazle restablecimiento de fábrica guardando todos tus datos, sino pues queda flashearlo y aquí hay tutoriales de como hacerlo y si no funciona nada de lo anterior puede ser el digitalizador no la pantalla LCD ya que muestra todos sus colores no?
Saludos