Bueno, me contesto a mi mismo.
El problema es que hay que alimentar el dongle mediante su puerto micro USB.
Ya había hecho la aprueba anteriormente, pero debía de haberlo metido poco el cable micro USB, porque después de moverlo un poco, la Tv ya me ha reconocido el dispositivo a través de su puerto HDMI.
Lo pongo por si le puede pasar a alguien.
Por lo demás, decir que se ve muy bien.