Para que las notificaciones nos lleguen cuando deben, hay que tener marcada esa opción.
Si no la tenemos activada, al apagarse la pantalla el móvil desconecta automáticamente la red de datos al pasar un rato.
Hay que ir a Redes móviles y activar la opción que pone: Siempre habilitar datos por redes de móviles.