Buenas,
lo de que te desaparezcan los correos de la bandeja de entrada puede ser porque en la configuración de las cuentas de correo se puede poner que se descargue sólo los últimos X mensajes. Es decir que te mostrará cada vez que se sincronice la cuenta los últimos mensajes (desapareciendo los más antiguos).
También se puede especificar que se descarguen todos los mails de un sólo día....etc.
Entra en la cuenta de mails, en configuración, en enviar y recibir, opciones de descarga... a ver qué tienes configurado.
Saludos