¿seguro que es la placa base lo que está roto? Lo digo porque da la sensación de que ya han intentado engañarte antes.
A poco que tengas un poco de maña, lo desmontaría y dedicaría media hora a observarlo con calma y revisando cada uno de los conectores de la placa base.
También probaría a arrancarlo con varios dispositivos quitados (vibrador, lector de SIM, auriculares, etc ), para ver si con alguno de ellos quitado funciona bien y localizas la avería.
Si por ejemplo fuera el conector de USB (como dices) y no su enganche con la placa base, la reparación te costaría sólo 4USD.
http://www.ebay.com/itm/Power-On-off...item46135e8425
En el mio le desconecté la camara frontal (que me estaba produciendo fallos erraticos en el lector de SD) y ahora funciona perfectamente.