Mira por si acaso tienes activada la opción de borrar los correos en cuanto se descargan.
Si es así en cuanto lo recibas en un dispositivo, pc o móvil, ya no se te descargara en el otro.
Tiene que ponerlo para que se borrar al día siguiente o mas , según te convenga.
Yo en outlook.com las tengo configuradas como pop y sin problemas para sincronizar.
Un saludo.