El download mide es para cargar roms con Odin, y que te responda a eso ya es una buena señal.
Lo que es extraño, es que la caída tenga ese efecto, ya que la pantalla responde, y los botones físicos también.
El tema de la batería, suena a batería estropeada, pero no se, quizás el conector usb se haya dañado en la caída y no cargue bien, pueden ser muchas cosas.
Busca una batería cargada para probar.
Prueba buscando instalar rom con odin, y mira a ver si conecta con el pc en modo download, a partir de ahí, instalar una rom desde cero.