Por ir descartando cosas: ¿Tu móvil se conecta a la red WiFI (sin usar el 3G, solo WiFi) en tu casa?
¿Tu tablet se conecta a la red WiFi y la identifica bien?
Por último: ¿Tienes las IP en automático en tu router o hay que indicarlas de forma manual?
Aunque acabo de releer el post original y parece que puedes navegar por Internet a excepción de Google Play...
Reedito porque he visto que ya has probado el truco de borrar los datos de la aplicación de Google Play pero no sé si has probado lo siguiente:
ajustes/Aplicaciones//Todas... Buscas "Administrador de descargas" y compruebas si está habilitada. Si no lo está la habilitas y reinicias la tablet y si lo está borras datos y cache y reinicias la tablet.