Si ya tienes todo hecho con la AsyncTask y la clase esa que se conecta no creo que vayas a ganar nada usando otra biblioteca.
Lo que sí sería una mejora es que abstraigas esa petición de datos en un método de forma que si mañana decides no usar el AsyncTask con esa clase solo tengas que cambiar código en un sitio para llamar a volley/retrofit/okhttp en vez de crear una AsyncTask por ejemplo.
Probablemente al hacer esa limpieza de código también descubras por qué falla al intentar actualizar dos categorías.