Hola...comentar un poco mi experiencia, por si le sirve a alguien.
Le instalé en su día a mi S3 la CM 12 y posteriormente actualicé a la 13. A partir de ahí, no reconocía la SIM. Probé con varias ROMs por si fuera ese el problema, pero no hubo suerte, con ninguna reconocía ninguna tarjeta SIM.
Hasta que di con este magnífico hilo. La última ROM que tenía instalada creo que era la nameless-3.0-i9300-20160328. El caso es que antes de flashear otra ROM como dice el autor del hilo, he parcheado directamente uno de los modems del primer mensaje y a la primera me ha pillado la SIM. Vuelvo a tener el IMEI y estoy conectado a la red.
Viendo que la cosa tenía arreglo, le he echado valor y he instalado la CM 12 de nuevo. Y después de limpiar el terminal y dejarlo literalmente pelado, sorpresa! flasheo la CM 12 y me reconoce la SIM del tirón. Ahora estoy actualizando a la 13 a ver qué pasa y posteriormente instalaré las gapps para dejarlo listo.