Bueno, pues he encontrado una solución provisional para no tener que cambiar de móvil.
Dado que la aplicación se pasa por el forro que no entre en modo ahorro de energía, pongas las opciones que le pongas, lo que he encontrado después de miles de intentos de todo tipo, es una opción que se utilizaba antiguamente para sobretodo móviles samsung, cuando tenían problemas con las notificaciones push con algunas aplicaciones.
Desactivar el modo reposo del móvil (Doze mode). Para ello hay que utilizar el shell de adb (buscar el google para el que no lo sepa, no hace falta rootear el móvil).
El comando sería:
adb shell dumpsys deviceidle disable
Con esto desactivaríamos el modo reposo del android y la aplicación que estuviera priorizando esto (aunque le indicásemos "sin restricciones", autoinicio en segundo plano, bloqueo, etc), como es el caso de mi xiaomi home, con este comando el android no entra en ese modo de reposo a los 5 minutos de tener el móvil bloqueado, por lo que volvería a funcionar todas las notificaciones push de dicha aplicación.
La única jodienda es que si reinicias el móvil tienes que volver a desactivarlo otra vez con el comando. Pero bueno, yo no estoy todos los días reiniciando el móvil, a mi me vale.
Lo llevo probando varios días y no he notado que la batería se descargue antes y todo funciona correctamente, sobretodo el problema de las notificaciones.
Lo dejo por aquí por si a alguien le conviene esta solución.
Un saludo.