Sigo sin entender por qué pasa esto, pero creo que lo he solucionado.
Por si a alguien también le pasa, explico lo que he hecho: he copiado todo el contenido de la tarjeta en el PC y la he formateado desde el móvil. Lo he vuelto a pegar todo, y seguía sin funcionar.
He ido a gestión de aplicaciones, en almacenamiento, y he movido uno de los programas que estaban en la SD y que no funcionaban al móvil; he comprobado que entonces sí funcionaba, y he vuelto a pasarlo a la targeta. Pensaba que tendría que hacer lo mismo con todos, pero sólo con hacerlo con uno ha funcionado con todos.
Imagino que sería algún problema con la tabla de índices de la partición, o algo parecido.
Espero que no vuelva a pasar...
Saludos.