Prueba limpiar el cabezal de carga de el xperia, o se donode conectas el cable, aveces un poco de suciedad es suficiente para que no cargue.
Lo siguiente es conectarlo aun pc, dejalo 20 minutos minimo, si la bateria lleva mucho descargada, no encendera a la primera.
Si aun no enciende, prueba de apretar Encendido (power) y volumen arriba y no los sueltes, vibrara una vez, y luego 3 mas. Sigue apretando 5 segundos mas, deberia encenderse, si no suelta y apreta normal.
Si aun esto no a sido factible, dudo mucho que dejandolo cargando toda la noche con cualquier cargador o pc encianda... pero puedes probarlo... asi que tu bateria esta K.O.